Perpendicularidad

Perpendicularidad

Rectas perpendiculares entre sí

Dos rectas que se cortan pueden ser perpendiculares, pero esta condición de perpendicularidad no se manifiesta en ninguna de las proyecciones (salvo que el plano que las contiene sea horizontal o frontal). Para resolver problemas de perpendicularidad entre dos rectas es necesario realizar una transformación en el plano que las contiene (giro, abatimiento, cambio de plano…) para conseguir una vista auxiliar que muestre en verdadera proporción el ángulo que forman. Esto se verá también más adelante.

En esta figura podemos ver que las proyecciones de dos rectas perpendiculares (r y s) forman ángulos aleatorios dependiendo de la orientación del plano que las contiene.

Rectas perpendiculares entre sí

Recta perpendicular a un plano

Un axioma fundamental de la geometría dice que si una recta (r, en la figura) es perpendicular a un plano, también lo es a todas las rectas del plano que pasan por el punto de corte de recta y plano.
Recta perpendicular a un plano

El Teorema de las tres perpendiculares extiende este axioma diciendo que si dos rectas perpendiculares (r, s) se proyectan sobre un plano paralelo a una de ellas (s), las proyecciones son perpendiculares.
Teorema de las 3 perpendiculares

Si se particulariza este Teorema considerando el plano de proyección al plano H, y el plano perpendicular α a r que contiene a s, su traza hα también será paralela a s, por lo que la proyección de la recta r1 sobre H también será perpendicular a hα.

Teorema de las 3 perpendiculares

Como conclusión, en el sistema diédrico, las proyecciones de una recta perpendicular a un plano son a su vez perpendiculares a las trazas del plano (la proyección horizontal es perpendicular a la traza horizontal y la proyección vertical lo es a la traza vertical). En esta figura, r es perpendicular a α:

Recta perpendicular a un plano

Recta perpendicular a otra por un punto exterior

Para encontrar una recta perpendicular s a otra r por un punto exterior A, seguimos estos pasos:

Encontramos un plano perpendicular a r que contenga al punto A (ver apartado anterior).

Encontramos el punto B intersección de la recta r con el plano a (la intersección entre recta y plano se explica en el siguiente capítulo).

La recta AB es la s, perpendicular a r, buscada.

Recta perpendicular a otra por un punto exterior

Planos perpendiculares entre sí

Dos planos α y β son perpendiculares entre sí cuando uno de ellos (α en la figura) contiene al menos una recta (r) perpendicular al otro.
Para encontrar un plano β perpendicular a otro α tal que pase por una recta s, basta con trazas una perpendicular a α por cualquier punto de la recta s. Esa perpendicular y la propia recta s definen al plano β.

Planos perpendiculares entre sí