Elipse

Elipse

Introducción

En una sección plana a un cono, si β, el ángulo que forman el eje del cono y el plano que corta a la superficie cónica, es mayor que el semiángulo cónico α, la curva intersección es una curva cerrada, denominada elipse.

Elipse (I)

Se pueden dar elipses degeneradas (casos particulares de elipses) en estos casos:

Si el plano es perpendicular al eje de revolución del cono, en cuyo caso la elipse es una circunferencia.

Si el plano pasa por el vértice, en cuyo caso la curva se degenera en un punto.

Elementos de la Elipse

Los elementos de la elipse son:Elipse (II)

A, B, C, D = Vértices

O = Centro

F1 y F2 = Focos

AB = Eje mayor o focal

CD = Eje menor o secundario

Las distancias notables en la elipse son:

AB = 2a = Longitud del eje mayor

CD = 2b = Longitud del eje menor

F1F2 = 2c = Distancia focal

d1 y d2 = Radiovectores del punto P (segmentos que lo unen a los focos)

CF1 = CF2 = a

En la Elipse se cumplen las siguientes propiedades:

d1 + d2 = 2a (constante para todos los puntos)

b2 + c2 = a2 (Pitágoras)

Excentricidad

Métricamente, un cónica (nos referiremos en adelante así a las curvas cónicas), puede definirse como el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya razón o cociente entre una distancia a un punto fijo llamado foco (F) y a una recta fija llamada directriz (M) es constante. Esta constante se denomina excentricidad de la cónica.

Elipse (III)

Si e<1, se trata de una elipse Si e=1, se trata de una parábola y si e>1, se trata de una hipérbola.

En el caso de la elipse, la excentricidad equivale al cociente entre el eje mayor (2a) y la distancia focal (2c), y es siempre menor que la unidad. Cuanto menor sea la excentricidad más “redonda” será la elipse, es decir más se aproximará a una circunferencia.

La Elipse como lugar geométrico

Los puntos de la elipse tienen una propiedad que permite definirla como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos (llamados focos) es constante. Esa constante es igual la longitud del eje mayor de la elipse AB (ver la segunda figura de este mismo capítulo).

La elipse también puede definirse como el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a otra dada que pasan por un punto fijo interior a ésta. Y también es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una circunferencia y de un punto interior a ésta.

Elipse (IV)

Ecuación matemática de la Elipse

Asumiendo que el centro de la elipse está situado en el origen de coordenadas (0,0), y considerando que las coordenadas de un punto P son (x, y), en la figura de la elipse se cumple la siguiente ecuación:
Elipse (V)
Elipse (II)

Más elementos de la Elipse

Las circunferencias focales de la elipse tienen como centro los focos y como radio 2a (en la figura, AB = d1 + d2 = 2a).

La circunferencia principal de la elipse tiene como centro el centro de la elipse y como diámetro 2a (AB).

Las directrices de la elipse (que no se han representado en el dibujo, ya que en el caso de la elipse no son relevantes) son las rectas polares de los focos respecto a la circunferencia principal (ver Polaridad).

Elipse (VI)

Propiedades especiales de la Elipse

La circunferencia focal de un foco (F2 en la figura) es el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (F1 en la figura) con respecto a cualquier tangente a la elipse (en la figura, la tangente por P).

La circunferencia principal es el lugar geométrico de los puntos (M en la figura) que, estando en las tangentes, son los intermedios entre un foco (F1 en la figura) y su simétrico (F1‘) con respecto a esa tangente a la elipse, o sea, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares a las tangentes desde los focos.

El punto de contacto de una tangente con una elipse (P en la figura), está alineado con un foco (F2 en la figura) y el simétrico del otro con respecto a esa tangente (F1’). La tangente es bisectriz del ángulo formado por P, F1 y F1’.

Elipse (VII)

Determinación de los elementos de la Elipse a partir del plano de corte con el cono

Si dibujamos la figura de la superficie cónica cortada por el plano de forma que éste quede perpendicular al papel, podemos determinar los ejes de la elipse obtenida en dicho corte, sin necesidad de encontrar los focos:

Los puntos de corte M y N equivalen al diámetro máximo de la curva, esto es, al eje mayor AB.

Construimos la figura abatida y dibujamos directamente AB.

El punto medio de MN equivale al centro de la elipse O.

Si por este punto O trazamos una recta perpendicular al eje del cono podemos considerar que es la traza de un plano que lo corta en una circunferencia. Esta circunferencia la representamos abatida. La intersección de esta circunferencia con la elipse debe ser un segmento que se corresponde con el eje menor de la elipse, asi que la distancia b obtenida sobre la circunferencia es el semieje menor, que ya podemos trasladar a la figura abatida.

Si es necesario, podemos obtener los focos a partir de los ejes.

Elipse (VIII)

Ver la construcción paso a paso

Teorema de Dandelin en la Elipse

El Teorema de Dandelin postula que, dada una superficie cónica y un plano que la secciona formando una curva cónica, siempre se pueden dibujar una o dos esferas (una en el caso de la parábola) tangentes interiores a la superficie cónica y a su vez tangentes al plano de corte.

El Teorema de Dandelin aplicado a la elipse enuncia que los puntos de tangencia F1 y F2 de las esferas con el plano de corte son los focos de la cónica, y los planos que contienen a las circunferencias de contacto de las esferas con la superficie cónica intersectan al plano de corte en dos rectas d1 y d2, que son las directrices de la elipse.

Elipse (IX)

En la figura siguiente se representa la interpretación plana del Teorema de Dandelin en la Elipse, mediante una vista en la que el plano de corte queda perpendicular al papel, y se representa por una recta. El plano secante corta a las generatrices aparentes (las más exteriores) en los puntos A y B, que serán vértices del eje mayor de la elipse.

En esta interpretación las esferas tangentes aparecen como circunferencias tangentes a la recta que representa al plano secante y a las generatrices aparentes, de forma que se obtienen dos circunferencias de contacto de dichas esferas con la superficie cónica (que aparecen aquí como las rectas T1-T2 y T3-T4). Los puntos de tangencia de las esferas con el plano de corte son los puntos F1 y F2, que serán los focos de la elipse.

Los puntos de tangencia con la superficie cónica representan a las circunferencias de la solución tridimensional (hemos visto que T1-T2 es una circunferencia y T3-T4 es la otra). Los planos en los que se encuentran estas circunferencias definen las directrices d1 y d2 de la elipse.

En la figura también puede verse la cónica resultante abatida sobre el papel. El eje menor puede obtenerse fácilmente a partir del eje mayor y los focos.

Elipse (X)

Diámetros conjugados en la Elipse

Dado un diámetro de la elipse (una recta que pasa por su centro), su diámetro conjugado es aquel que se obtiene al unir los centros de las cuerdas paralelas al primero. Los ejes son el único par de diámetros conjugados perpendiculares.

El Teorema de Apolonio dice que la suma de los cuadrados de dos pares de diámetros conjugados cualesquiera (incluso los ejes) es constante (en la figura, AB2 + CD2 = DF2 + GH2 = constante).

Elipse (XI)

Obtención de los ejes a partir de un par de diámetros conjugados

Un par de diámetros conjugados definen completamente una elipse. Partiendo de ellos (EF y GH en la figura) podemos encontrar los ejes siguiendo este método:

Giramos el vértice E alrededor del centro de la elipse 90º hasta obtener el punto J.

Trazamos el círculo de diámetro JG, a cuyo centro llamamos K.

Unimos el centro de la elipse con K y prolongamos, obteniendo sobre el círculo anterior M y N.

Trazamos las rectas NG y MG, que van a marcar las direcciones de los ejes (que dibujamos trazando paralelas a ellas por el centro de la elipse).

El semieje menor es la distancia entre el centro de la elipse y el punto N, y el semieje mayor la distancia entre el centro y el punto M (se han trazado círculos para transportar los puntos a los ejes, dando los vértices de la elipse, A, B, C y D).

Elipse (XII)

Ver la construcción paso a paso

Trazado de la Elipse

Existen varios métodos para trazar una elipse, dados sus elementos. A continuación se detallan algunos de ellos. Aunque el uso de algunos no es nada práctico, se incluyen a título ilustrativo, toda vez que además ilustran las propiedades de la curva.

En todas las figuras se ha incluido la figura de la elipse con el fin de identificar correctamente los elementos de la solución.

Trazado de la Elipse por puntos

Dados los ejes y focos de la elipse, para trazarla por puntos seguimos estos pasos:

Sobre el eje mayor, elegimos varios puntos al azar, preferentemente equitativamente repartidos (en la figura, 1 a 6).

Para el punto 1, se cumplirá A1+B1=2a; para el punto 2, se cumplirá A2+B2=2a; etc…

Con centro en un foco (F) y radio A1 trazamos un arco. Con centro en el otro y radio B1 trazamos otro. Los dos puntos de corte de ambos arcos por definición pertenecen a la elipse, ya que sus radiovectores son A1 y B1 y hemos visto que A1+B1=2a

Repetimos la operación para cada uno de los puntos 2 a 6

Si hemos elegido puntos a un lado del eje (como en el ejemplo) el resto puede obtenerse por simetría.

Elipse (XIII)

Ver la construcción paso a paso

Trazado de la Elipse por rectas o haces proyectivos

Dados los ejes de la elipse:

Trazamos un rectángulo en uno de los cuadrantes de la elipse.

Lo dividimos en varias partes (tanto en horizontal como en vertical) y numeramos los puntos intermedios.

Unimos el vértice C (opuesto al cuadrante del eje menor) con las divisiones horizontales, y el D (el contrario) con las divisiones verticales.

Cortando los haces trazados de igual número obtenemos los puntos de la elipse en ese cuadrante.El resto de puntos puede obtenerse por simetría.

Elipse (XV)

Este método también puede aplicarse si en lugar de los ejes disponemos de un par de diámetros conjugados.

Elipse (XVI)

Ver la construcción paso a paso

Trazado de la Elipse por proporcionalidad de ejes

Dividimos el semieje mayor en varias partes (6 en la figura)

Dibujamos un sector circular de 90º y radio igual al semieje menor, adosado al extremo del eje mayor (para facilitar el trazado) y dividimos su radio en igual número de partes

Trazamos perpendiculares al radio dividido y obtenemos las alturas proporcionales en la dirección del eje menor (segmentos a, b, c, d y e)

Trasladamos esas alturas como segmentos perpendiculares al eje mayor, dando los puntos de la elipse (los de la parte derecha también se pueden hacer por simetría)

Elipse (XIV)

Ver la construcción paso a paso

Trazado de la Elipse por Afinidad a partir de los ejes

Trazamos las circunferencia principal y la que tiene como diámetro el eje menor.

Una afinidad vertical de eje AB y dirección C-C’ convierte a la circunferencia mayor en la elipse, y una afinidad horizontal de eje CD y dirección A-A’’ convierte a la circunferencia menor en la misma elipse.

Hacemos divisiones iguales en ambas circunferencias.

Tomamos un punto M’ que se convierte en punto de la elipse por la afinidad vertical. El equivalente en la circunferencia menor, M’’, lo hace por afinidad horizontal. El punto M, corte de las dos direcciones, pertenece a la elipse.

Se repite para todas las divisiones tomadas, obteniendo diferentes puntos de la curva.

Elipse (XVIII)

Ver la construcción paso a paso

Trazado de la Elipse por Afinidad a partir de dos diámetros conjugados

Dibujamos una circunferencia con diámetro igual a uno de los diámetros (en la figura, AB)

Definimos una afinidad que convierta la circunferencia en la elipse.

El punto C’ de la circunferencia se convertirá en el C de la elipse (extremo del otro diámetro conjugado)

Dividimos el diámetro AB en varias partes y levantamos verticales para dar varios puntos en la circunferencia

Aplicamos la afinidad a cada uno de esos puntos

Como las afines de dos rectas paralelas también son paralelas, la dirección del diámetro DC cortada con la dirección de afinidad dará los diferentes puntos de la elipse

Elipse (XIX)

Ver la construcción paso a paso

Trazado de la Elipse por tangentes envolventes

Sabemos que el simétrico de un foco respecto a una tangente está en la circunferencia focal del otro foco, y que el punto medio está en la circunferencia principal (ver propiedades de la elipse más arriba en este mismo capítulo), asi que aprovechamos esta propiedad para trazar las tangentes:

Dibujamos la circunferencia principal. Elegimos un punto P de ella y trazamos el simétrico del foco F’ (SF’, perteneciente a la focal de F). La perpendicular a F-SF’ por P será una tangente de la elipse. El punto de tangencia está en la recta F-SF’.

Si trazamos rectas que parten de los focos y hallamos sus perpendiculares donde cortan a la circunferencia principal, estamos construyendo tangentes envolventes de la elipse (en la figura, se ha hecho en la mitad inferior de la elipse).

Elipse (XVII)

Ver la construcción paso a paso

Tangentes y normales

Tangente y Normal a una Elipse por un punto propio P

Trazamos sus radiovectores y encontramos la bisectriz de ambos.

Esta bisectriz es la normal a la elipse en P, así que su perpendicular por P será la tangente buscada.

Elipse (XX)

Ver la construcción paso a paso

Tangentes a una Elipse por un punto exterior (método de la circunferencia principal)

Trazamos la circunferencia principal

Elegimos un foco (en el ejemplo, F’, por ser mas cercano a P) y trazamos la circunferencia de diámetro F’P, que corta a la circunferencia principal en M y N

PM y PN son las tangentes buscadas. Para encontrar los puntos de tangencia, unimos el centro de la elipse con N y M y trazamos paralelas a estas dos rectas por el otro foco. Donde corten estas últimas a las tangentes están los puntos de tangencia (X e Y)

Elipse (XXI)

Ver la construcción paso a paso

Tangentes a una Elipse por un punto exterior (método de las circunferencias focales)

Trazamos la circunferencia focal del foco F (en la figura se ha trazado solo un trozo)

Con centro en F y radio PF’ trazamos un arco que cortará a la focal anterior en M y N

Las mediatrices de los segmentos F’M y F’N son las tangentes buscadas

Para encontrar los puntos de tangencia, trazamos FM y FN, que se cortan con las tangentes en los puntos de tangencia, X e Y

Elipse (XXII)

Ver la construcción paso a paso

Tangentes a una Elipse paralelas a una dirección dada por una recta (método de la circunferencia principal)

Trazamos la circunferencia principal de la elipse

Dibujamos la perpendicular a la recta r por un foco (F’ en la figura), dando los puntos M y N en la circunferencia principal

Las paralelas a r por M y N son las tangentes buscadas

Para encontrar los puntos de tangencia, trazamos las rectas que unen el centro de la elipse con M y N y dibujamos sus paralelas por el otro foco, que cortan a la tangente en los puntos X e Y

Elipse (XXIII)

Ver la construcción paso a paso

Tangentes a una Elipse paralelas a una dirección dada por una recta (método de las circunferencias focales)

Trazamos la focal del foco F

Por el otro foco se traza la perpendicular a la recta, que corta a la focal anterior en M y N

Las mediatrices de F’M y F’N son las tangentes buscadas

Para encontrar los puntos de tangencia, basta trazar las rectas FM y FN, que cortan a las tangentes en los puntos buscados, X e Y

Elipse (XXIV)

Ver la construcción paso a paso

Intersección entre Elipse y recta

Para determinar la intersección de una elipse con una recta secante r seguimos este procedimiento:

Trazamos la focal de F

Encontramos el simétrico del otro foco (F’) con respecto a la recta r (SF’)

Elegimos un punto P cualquiera sobre la recta tal que al trazar una circunferencia de radio PF’ corte a la focal de F en M y N

Prolongamos M-N y F-SF’ hasta que se cortan en Q

Dibujamos la circunferencia de diámetro QF, que cortará a la focal en los puntos R y S

Al unir F con R y S obtenemos sobre r los puntos de corte buscados, X e Y

Elipse (XXV)

Ver la construcción paso a paso


Enlaces de Interés: