Parábola

Parábola

Introducción

En una sección plana a un cono, si el ángulo β que forman el eje del cono y el plano que corta a la superficie cónica es igual que el semiángulo cónico α, la curva intersección es una curva abierta de una sola rama, denominada parábola.

Parábola (I)

Se puede dar una parábola degenerada cuando el plano de corte pasa por el vértice, en cuyo caso es tangente a ambas ramas de la superficie cónica (la toca en una de sus generatrices), y se convierte en una recta.

Elementos de la Parábola

En la figura siguiente pueden observarse los elementos de una parábola:

F = Foco

V = Vértice

Eje, directriz y tangente principal

p = parámetro (distancia de F a la directriz). Se cumple V-F = p/2

PF y PD = Radiovectores de P (PD = PF)

Parábola (II)La parábola puede considerarse como una elipse cuyo segundo foco está en el infinito (es impropio).

La directriz de la parábola se corresponde con la circunferencia focal del foco impropio (y, por tanto, se convierte en una recta).

La tangente principal (paralela a la directriz por el vértice) se corresponde con la circunferencia principal de la elipse.

Excentricidad

En la parábola, la excentricidad vale 1 (ver el capítulo anterior).

La Parábola como lugar geométrico

Los puntos de la parábola tienen una propiedad que permite definirla como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo (foco) es igual a la distancia a una recta fija (directriz).

Esa distancia no es constante, sino que varia con cada punto, y es mínima en el caso del vértice.

Ecuación matemática de la Parábola

Considerando el vértice de la parábola como el origen de coordenadas (0,0), y siendo las coordenadas de un punto P(X,Y), según la figura anterior, se cumple:

Ecuación de la Parábola

Propiedades especiales de la Parábola

La directriz (circunferencia focal del foco impropio) es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco F con respecto a cualquier tangente a la parábola (F’ en la figura).

La tangente principal es el lugar geométrico de los puntos (M en la figura) que, estando en las tangentes, son los intermedios entre un foco y su simétrico con respecto a cualquier tangente a la parábola, o sea, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares a las tangentes desde los focos.

El punto P, punto de contacto de una tangente con una parábola, está alineado con un foco (el impropio) y el simétrico del otro con respecto a esa tangente. La tangente por P es bisectriz del ángulo formado por P, F y F’.

Parábola (III)

Teorema de Dandelin en la Parábola

El Teorema de Dandelin postula que, dados una superficie cónica y un plano que la secciona formando una cónica, siempre se pueden dibujar una o dos esferas (una en el caso de la parábola) tangentes interiores a la superficie cónica y a su vez tangentes al plano de corte.

En el caso de la parábola, además enuncia que el punto de tangencia F de la esfera con el plano de corte es el foco de la parábola, y el plano que contiene a la circunferencia de contacto de la esfera con la superficie cónica intersecta al plano de corte en una recta que es la directriz de la cónica.

En la figura se representa la interpretación plana del Teorema de Dandelin en la Parábola, mediante una vista en la que el plano de corte queda perpendicular al papel, y se representa por una recta. El plano secante corta a la generatriz aparente (la más exterior) en el punto V, que será el vértice de la parábola.

Parábola (V)

En esta interpretación la esfera tangente (solo una) aparece como una circunferencia tangente a la recta que representa al plano secante y a las generatrices aparentes, de forma que se obtiene una circunferencia de contacto de dicha esfera con la superficie cónica (que aparece aquí como la recta T1-T2).

El punto de tangencia de la esfera con el plano de corte es el punto F, foco de la parábola. Los puntos de tangencia con la superficie cónica representan la circunferencia de la solución tridimensional (hemos visto que T1-T2 es una circunferencia). El plano en que se encuentra define la directriz d de la parábola.

En la figura también puede verse la cónica resultante (y sus elementos) abatida sobre el papel.

Parábola (VI)

Trazado de la Parábola

Al igual que ocurre con la elipse, existen varios métodos para trazar una parábola a partir de sus elementos (eje, foco y vértice), así como para encontrar sus tangentes y puntos de corte con una recta. A continuación se muestran algunos de ellos, a título ilustrativo. En todas las construcciones se ha incluido la figura de la parábola con el fin de identificar correctamente los elementos de la solución.

Trazado de la Parábola por puntos

Marcamos varias divisiones en el eje, por comodidad de igual tamaño (1 a 5, en el dibujo). Por ellas trazamos perpendiculares al eje.

Para la primera división (1), trazamos un arco con centro en el foco y radio igual a la distancia desde 1 a la directriz (a). Por definición, los puntos donde se corta el arco con la perpendicular al eje por 1, pertenecen a la parábola.

Repitiendo con las siguientes divisiones obtenemos más puntos de la curva

Parábola (VII)

Ver la construcción paso a paso

Trazado de la Parábola por rectas o haces proyectivos

Elegimos un punto N del eje y trazamos por él la perpendicular al eje.

Tomando como radio la distancia desde N a la directriz trazamos un arco con centro en el foco. Ese arco se cortará con la perpendicular anterior en Q, que por definición pertenece a la curva.

Recuadramos con un rectángulo el espacio entre Q y el vértice A, y dividimos el rectángulo horizontal y verticalmente en un mismo numero de divisiones (cinco, en la figura)

Trazamos rectas horizontales por las divisiones verticales, y unimos las divisiones horizontales con A. Donde se cortan ambos juegos de rectas son puntos de la curva.

Parábola (VIII)

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Trazado de la Parábola por tangentes envolventes

Como sabemos que las tangentes son las mediatrices de los segmentos que unen el foco con un punto de la directriz, y sabemos que los puntos medios de esos segmentos están en la tangente principal (ver apartado de propiedades especiales de la parábola), basta con trazar varios segmentos desde el foco y encontrar sus perpendiculares donde cortan a la tangente principal.

Parábola (X)

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Tangente y Normal

Tangente y normal a una Parábola por un punto de la curva

Para encontrar la tangente por un punto P de la curva, trazamos sus radiovectores.

La bisectriz interior del ángulo que forman ambas rectas es la tangente a la curva, y la bisectriz exterior es la normal.

Parábola (XI)

Tangentes a una Parábola por un punto P exterior a ella

Con centro en el punto P, trazamos un arco de radio PF que cortará a la directriz en los puntos M y N.

Las mediatrices de los segmentos FM y FN son las tangentes buscadas.

Para encontrar los puntos de tangencia X e Y basta con trazar paralelas al eje por los puntos M y N.

Parábola (XII)

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Tangente a una Parábola paralela a una dirección dada por la recta r

Desde el foco F trazamos una perpendicular a la recta r, que proporciona el punto M sobre la directriz.

La mediatriz del segmento MF es la solución.

Para encontrar el punto de tangencia, trazamos por M una paralela al eje, que corta a la tangencia en el punto buscado, X.

Parábola (XIII)

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Intersección con una recta

Intersección entre una Parábola y una recta secante r

Tomamos un punto arbitrario M de la recta r, y con centro en él trazamos la circunferencia de radio MF.

Encontramos F’, el simétrico de F respecto de la recta (F’ estará sobre la circunferencia trazada).

Prolongamos FF’ hasta la directriz, dando el punto Q.

Desde Q trazamos la tangente a la circunferencia, y obtenemos el punto de tangencia R.

Con centro en Q y radio QR trazamos un arco que corta a la directriz en los puntos U y V. Las paralelas al eje por U y V proporcionan sobre r los puntos de corte buscados, X e Y.

Parábola (XIV)

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