Ángulos

Ángulos

Definiciones

Un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos segmentos o dos semirrectas. Al punto de intersección de los mismos se le denomina vértice del ángulo.

Ángulos (I)

En el sistema internacional, los ángulos se miden en grados sexagesimales, es decir, en grados, minutos y segundos (por ejemplo 23º12’23”), aunque también pueden usarse otras escalas, como los grados con fracciones decimales (gradianes) o los radianes.

Trasladar ángulos con el compás

Para trasladar un ángulo de una recta r a una s, seguimos este procedimiento:

En el primer arco trazamos un arco cualquiera que nos da los puntos A y B.

Trasladamos el punto A trazando un arco igual en el nuevo vértice.

Trasladamos con otro arco la distancia AB, identificando el punto B del nuevo ángulo.

Ángulos (II)

Suma y resta de ángulos

Para sumar o restar dos ángulos, basta poner uno a continuación del otro. Para sumarlos se dibujan los dos en el mismo sentido compartiendo el vértice, y para restarlos se dibujan en sentido contrario.

Por convención, los ángulos positivos se cuentan en el sentido de giro anti horario, y los negativos en el sentido contrario.

Ángulos (III)

Trazado de ángulos con escuadra y cartabón

En el trazado sobre el papel, podemos usar la escuadra y el cartabón para dibujar y trasladar ángulos cuyas aperturas sean múltiplos de 15º. Para llevar al papel ángulos de cualquier valor, también puede usarse el instrumento llamado transportador de ángulos.

Ángulos (IV)

Bisectriz de un ángulo

La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos ángulos iguales. También es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los dos segmentos que forman el ángulo.

Ángulos (V)

Para trazarla, con centro en el vértice del ángulo (punto de corte de los dos segmentos) y radio arbitrario trazamos un arco que corta a los lados del ángulo en dos puntos. Con centro en estos puntos y radios iguales, trazamos otros dos arcos que se cortan en un tercer punto, que unido con el vértice proporciona la bisectriz buscada.

Si las rectas que forman el ángulo del que queremos encontrar la bisectriz se cortan fuera del papel, dicha bisectriz puede hallarse mediante dos paralelas auxiliares a igual distancia (figura de la izquierda). También puede encontrarse mediante la ayuda de cuatro bisectrices auxiliares, elegidos dos puntos cualesquiera sobre las rectas (figura de la derecha).

Ángulos (VI)

Tipos de ángulos según su amplitud

Una circunferencia completa tiene 360º de amplitud, y al dividirla en cuatro partes iguales mediante dos diámetros perpendiculares obtenemos cuatro ángulos de 90º. Estos ángulos se denominan ángulos rectos o rectángulos. Los ángulos de amplitud menor de 90º se denominan agudos y los de amplitud mayor de 90º se denominan obtusos. Al ángulo de 180º también se le denomina llano, extendido o colineal.

Ángulos (VII)

Ángulos (VIII)

Si medimos en radianes (360º son 2π radianes), los ángulos que miden menos de π radianes (180º) se denominanconvexos o salientes, y los que miden más de π radianes (180º) se denominan cóncavos o entrantes.

Trazado de ángulos con regla y compás

Los ángulos básicos pueden trazarse también con ayuda del compás, utilizando la bisectriz:

El ángulo de 90º se traza mediante una perpendicular (ver capítulo 6). Mediante sus bisectrices primera y segunda podemos obtener ángulos de 45º y de 22,5º (figura de la izquierda).

El ángulo de 60º se traza mediante la construcción del triángulo equilátero: trazamos un arco cualquiera con centro en el vértice y un segundo arco de igual radio en el punto en que el primer arco corta a la recta. Uniendo el vértice con la intersección de ambos arcos se obtiene el ángulo de 60º. Mediante sus bisectrices primera y segunda podemos obtener los ángulos de 30º y 15º (figura de la derecha).

Ángulos (IX)

Arco capaz de un ángulo dado para un segmento

El arco capaz de un segmento es el arco de circunferencia tal que desde todos sus puntos se observa el segmento desde un mismo ángulo. O sea, es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve un determinado segmento desde un mismo ángulo. Este elemento es muy usado y útil en el dibujo geométrico para resolver problemas de polígonos y ángulos.

Para construir el arco capaz de un ángulo α para el segmento AB se traza la mediatriz m de dicho segmento. Pasando por el vértice A, se trazará una recta r que forme el ángulo α con el segmento AB. Pasando por A, se dibujará una recta s perpendicular a la recta r. El punto de corte O entre la recta s y la mediatriz m es el centro del arco capaz buscado. Bastará con dibujar un arco de centro O y radio OA.

Ángulos (X)

El caso más notable de arco capaz es el de la semicircunferencia, en la cual todos los ángulos internos determinados con el segmento (el diámetro de la circunferencia) son ángulos rectos (90º).

Ángulos (XI)

Ángulos complementarios y suplementarios

Dos ángulos que suman 180º se denominan suplementarios, y dos que suman 90º se denominan complementarios.

Ángulos (XII)


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