Axiomas Fundamentales

Axiomas Fundamentales

Los siguientes axiomas o postulados básicos (verdades fundamentales de la geometría) se basan en el sistema de geometría euclidiana, que aunque se ha visto superada por otros modelos más modernos como la geometría hiperbólica o la propuesta por la teoría de la relatividad, es totalmente válido para nuestras intenciones.

Postulados básicos relacionados con el punto

Por un punto pasan infinitas rectas e infinitos planos

Postulados básicos relacionados con la recta

Una recta contiene infinitos puntos

Dos puntos determinan una y solo una recta. O bien, dos rectas que comparten dos puntos son coincidentes

Dos rectas paralelas no se cortan

Dos rectas no paralelas de un mismo plano se cortan en un único punto

Dos rectas no paralelas de un mismo plano se cortan en un único punto

La distancia entre dos puntos es la longitud del segmento que los une

La distancia entre un punto y una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta desde ese punto (figura 1)

La distancia entre dos rectas paralelas es la longitud de cualquier segmento perpendicular a ambas (figura 2)

La distancia entre dos rectas que se cruzan (que no se cortan ni son paralelas) es la longitud de un único segmento perpendicular a ambas (figura 3)

Dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.

Si una recta corta a otra, corta también a todas sus paralelas

Axiomas fundamentales (I)

Postulados básicos relacionados con el plano

Un plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas

Tres puntos no alineados determinan uno y solo un plano

Dos rectas no paralelas que se cortan determinan uno y solo un plano

Dos planos paralelos no se cortan

La intersección de dos planos no paralelos es una recta

Una recta paralela a un plano y no contenida en él no lo corta

Una recta no paralela a un plano lo corta en un único punto

Dados dos puntos de un plano, todos los puntos de la recta que los une están contenidos en ese plano

Si una recta es perpendicular a un plano, también lo es a todas las rectas del plano que pasan por el punto de corte de recta y plano

La distancia entre un punto y un plano es la longitud del segmento perpendicular al plano que parte del punto (figura 1)

La distancia entre una recta y un plano es la longitud de un segmento perpendicular a ambos por cualquiera de los puntos de la recta (figura 2)

La distancia entre dos planos paralelos es la longitud de un segmento perpendicular a ambos (figura 3)

Axiomas fundamentales (II)

Nota: Se recomienda al lector que se detenga unos minutos a pensar en cada uno de los axiomas para hacer una composición espacial de la situación que define, e intente justificarlos gráficamente sobre el papel, tal y como se hace en los ejemplos.
Estos axiomas deben dominarse como el ABC de la geometría.