Circunferencias y Arcos

Circunferencias y Arcos

Definiciones

Aunque hay varias formas de definirla, la más común es decir que la circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro llamado centro.

Arcos y Circunferencias (I)

Esa distancia constante es el radio de la circunferencia (radio también se considera a cualquier segmento que une el centro con cualquiera de sus puntos).

Se denomina diámetro al segmento de mayor longitud que une dos puntos del contorno de la circunferencia (cualquier diámetro pasa necesariamente por el centro).

Una cuerda es un segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros).La mediatriz de cualquier cuerda pasa por el centro de la circunferencia.

Una recta secante es la que corta a la circunferencia en dos puntos. Una recta tangente es la que la toca en un sólo punto. La tangente es perpendicular a un radio en el punto de tangencia (el de contacto con la circunferencia).

Un arco es el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia. Una semicircunferencia es cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

Arcos y Circunferencias (II)

En el estudio de las curvas cónicas (como puede verse en otros artículos de esta web) se considera que el diámetro conjugado de uno dado es el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas paralelas a él. En una circunferencia, dos diámetros perpendiculares entre sí son también diámetros conjugados.

Se suele diferenciar entre circunferencia y círculo, considerando la primera únicamente como el contorno (la línea curva) y al círculo como a la figura plana delimitada por la circunferencia. Así, se habla de la longitud de la circunferencia y del área del círculo.

Un sector circular es la porción de círculo comprendido entre un arco y sus respectivos radios, y un segmento circular es el trozo de círculo delimitado por un arco y por su cuerda.

Arcos y Circunferencias (III)

Rectificaciones

Rectificar una curva cualquiera no es más que obtener una aproximación de su longitud en una recta sobre el papel.

Para rectificar una curva cualquiera no reglada, el procedimiento general consiste en que dividirla en trozos (mediante arcos de igual radio) y trasladar el mismo número de arcos a una recta. Esta aproximación siempre tendrá un error por defecto, que será tanto menor cuanto más pequeño sea el radio de los arcos utilizados.

Arcos y Circunferencias (IV)

A continuación se describen algunos métodos para rectificar arcos y circunferencias.

Rectificación de un cuadrante (1/4 circunferencia).

Elegido un punto A de la circunferencia, con centro en él se traza un arco de radio igual al de la circunferencia (OA), que da B sobre ella. Con centro en B repetimos el arco, obteniendo el punto C. Con centro en A y radio AC trazamos un tercer arco, que nos da D en la perpendicular a OA por O. Con centro en B y radio BD, trazamos otro arco que nos da E sobre la circunferencia. AE es la rectificación buscada (la longitud recta equivalente a un arco de 90º de esa circunferencia).

Arcos y Circunferencias (V)

Rectificación de una circunferencia completa

Se traza el diámetro vertical AB y se divide en 5 partes. En la tangente por B (perpendicular a AB), se toman los puntos C, D y E, tales que BC=AB/5 (una quinta parte del diámetro), CD=AB*2 (dos diámetros) y BE=AB/5*2 (dos quintas partes del diámetro). Se traza la paralela a AC por E. Se traza DA y se prolonga hasta cortar a la anterior en F. DF es la rectificación buscada.

Arcos y Circunferencias (VI)

Rectificación de una circunferencia completa (otro método)

Sobre una línea recta, se lleva el diámetro 3 veces y 1/7 más. Como 22/7 (3,1428…) es una aproximación de π, podemos considerar que la longitud dada, (3+1/7)* AB, será una aproximación de π* AB (longitud de la circunferencia).

Arcos y Circunferencias (VII)

Rectificación de una semicircunferencia

Se traza el diámetro vertical AB y el horizontal CD. Se dibuja la tangente por A. Con centro en A y radio AD (lado del cuadrado inscrito) se halla G. Con centro en B y radio BO se halla E en la circunferencia. Con centro en A y radio AE (lado del triángulo inscrito) se encuentra F. FG es la rectificación buscada (figura de la izquierda).

Arcos y Circunferencias (VIII)

También puede comprobarse que la longitud de la semicircunferencia es aproximadamente igual a la suma de un lado del cuadrado y de un lado del triángulo inscritos.

Arcos y Circunferencias (IX)

Rectificación de un arco cualquiera menor de 90º

Para rectificar el arco BD, se traza el diámetro horizontal AB. Se divide OA en cuatro partes. Sobre la prolongación de OA se toma C tal que AC = OA * 3/4.Se traza la tangente por B. Uniendo C con D obtenemos E sobre la anterior. BE es la rectificación del arco BD buscada.

Arcos y Circunferencias (IX)

División de un arco en dos partes iguales

Para dividir un arco en dos partes iguales, podemos construir la bisectriz del ángulo que abarca (ver capítulo correspondiente a ángulos). También podemos construir la mediatriz de la cuerda correspondiente, que cortará al arco en el punto intermedio.

Arcos y Circunferencias (X)

Construcción de una circunferencia que pasa por tres puntos no alineados

Para encontrar el centro de la circunferencia, dibujamos dos cuerdas (tomando los puntos dados dos a dos) y trazamos sus mediatrices, que se cortarían en dicho centro.

Arcos y Circunferencias (XI)

Ángulos central, inscrito, ángulo semiinscrito, circunscrito y exterior de una circunferencia y sus propiedades

Ángulo central de una circunferencia es cualquier ángulo cuyo vértice esté en su centro.

Un ángulo inscrito tiene su vértice sobre el contorno de la circunferencia, y los segmentos que lo definen son rectas secantes a ella. Dada una cuerda cualquiera, se cumple que el valor del ángulo central que define es justo el doble que el ángulo inscrito.

Arcos y Circunferencias (XII)

Un ángulo semiinscrito a una circunferencia tiene el vértice sobre ella, un segmento secante y el otro tangente a la circunferencia (el punto de tangencia es el vértice).

El ángulo circunscrito a una circunferencia tiene su vértice fuera de ella, y sus segmentos son ambos tangentes a ella.

Arcos y Circunferencias (XIII)

El ángulo exterior tiene el vértice en un punto exterior a la circunferencia, y los segmentos que lo definen son secantes o tangentes a ella. También hay una relación entre el valor del ángulo exterior y los ángulos centrales dados por los dos arcos que se definen en la circunferencia.

Arcos y Circunferencias (XIV)


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