Polígonos Regulares

Polígonos Regulares

Definiciones

Se denomina polígono a cualquier figura plana cerrada compuesta por segmentos de recta concatenados.

Un polígono regular es aquel que tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos interiores iguales. Algunas de sus propiedades son éstas:

Los polígonos regulares son equiláteros, esto es, todos sus lados tienen la misma longitud.

Todos los ángulos interiores de un polígono regular tienen la misma medida, es decir, son congruentes.

El centro de un polígono regular es un punto que equidista de todos sus vértices. O lo que es lo mismo, existe una circunferencia llamada inscrita cuyo centro es el centro del polígono y que pasa por todos sus vértices.

Los polígonos se pueden dividir en triángulos isósceles cuyos lados son el lado del polígono y los dos segmentos que unen el centro y los vértices (radios). El ángulo menor de estos triángulos isósceles es siempre 360º dividido entre el número de lados del polígono.

Polígonos Regulares (I)

Elementos

Los elementos de los polígonos regulares son:

Los vértices (A,B,C,D..).

Los lados (AB, BC, CD…).

El centro (O).

Los ángulos interiores (uno por cada vértice).

Los apotemas, segmentos que unen el centro y el punto medio de cada lado del polígono.

Los radios, segmentos que unen el centro y cada vértice.

Las diagonales, que unen vértices no contiguos (por ejemplo, AD).

Polígonos Regulares (II)

Nomenclatura

Los nombres de los polígonos regulares básicos son los siguientes:

3 lados: Triángulo equilátero

4 lados: Cuadrado

5 lados: Pentágono regular

6 lados: Hexágono regular

7 lados: Heptágono regular

8 lados: Octágono regular

9 lados: Eneágono regular

10 lados: Decágono regular

11 lados: Endecágono regular

12 lados: Dodecágono regular

13 lados: Tridecágono regular

14 lados: Tetradecágono regular

etc…

Trazado de un polígono regular (división de la circunferencia)

Los polígonos de 3, 4, 6 y 8 lados pueden trazarse sin dificultad, porque los ángulos que lo forman son múltiplos de 30 o de 45º.

Polígonos Regulares (III)

Para trazar un pentágono regular inscrito en una circunferencia existe un procedimiento simple:

Trazamos dos diámetros perpendiculares de la circunferencia (PQ y RS en la figura). P será uno de los vértices del pentágono.

Determinamos el punto medio M del segmento OS y trazamos la recta QM.

Con centro en M, trazamos la circunferencia de radio MO, que se corta en U y V con la recta PM.

Los arcos de centro Q y radios QU y QV determinan los cuatro vértices restantes del pentágono regular.

En general, cualquier polígono regular puede trazarse dividiendo los 360º de una circunferencia en tantas partes como lados tenga el polígono. En la figura siguiente se muestra uno de los procedimientos generales que existen para dibujar polígonos regulares de 7 a 13 lados. Se basa en dividir una circunferencia en un número de partes igual al número de lados, y circunscribir después el polígono en ella. Para hacer esta división, seguimos estos pasos:

Polígonos Regulares (IV)

Dibujamos dos diámetros perpendiculares, por comodidad uno horizontal (AB) y otro vertical (CD).

Dividimos uno de ellos (en la figura, el vertical) en tantas partes como lados tendrá el polígono. Lo hacemos aplicando el teorema de Tales.

Con centro en el punto D, trazamos un arco de radio igual al diámetro de la circunferencia (CD) hasta que corte a la prolongación del otro diámetro (en el punto P).

Unimos ese punto P con la segunda división del diámetro CD, prolongando la recta hasta que toque a la circunferencia, en un punto que será el segundo vértice del polígono (M).

Con ayuda de un compás encontramos la longitud del lado, y la vamos copiando sobre la circunferencia mediante arcos iguales consecutivos para encontrar el resto de vértices.

Si el polígono deseado requiere un tamaño diferente puede practicarse una homotecia (ver otros libros de esta colección) para conseguir una figura semejante de mayor o menor tamaño. En el ejemplo, suponemos que la longitud deseada del lado es CQ. La superponemos a un lado de la figura; luego trazamos por Q una recta paralela al radio OC, que corta al radio siguiente en un punto N que nos define el tamaño de la nue-va circunferencia. Llevando todos los radios sobre ella tenemos el nuevo polígono.

Ver la construcción paso a paso


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