Triángulos

Triángulos

Definiciones

Un triángulo es una figura plana de tres lados rectos. Tiene tres ángulos interiores (formados por los lados dos a dos) y, por tanto, tres vértices. La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180º.

Triángulos (I)

Clasificación de los Triángulos

Atendiendo a la relación entre las longitudes de los lados, los triángulos se dividen en:

Equiláteros. Tienen los tres lados iguales

Isósceles. Tienen dos lados iguales y uno desigual

Escalenos. Sus tres lados miden longitudes diferentes

Atendiendo a la relación entre sus ángulos interiores, los triángulos pueden ser:

Acutángulos. Todos sus ángulos son agudos (<90º)

Rectángulos. Tienen un ángulo rectángulo (90º)

Obtusángulos. Tienen un ángulo obtuso (>90º).

Triángulos (II)

Alturas y Ortocentro

Las alturas de un triángulo son las rectas que pasan por un vértice y son perpendiculares a los lados opuestos. Las tres alturas se cortan en el ortocentro el triángulo.

Medianas y Baricentro

Las medianas de un triángulo son rectas que unen los vértices con los puntos medios de los lados opuestos. Las tres medianas se cortan en el baricentro del triángulo. Este punto también es el centro de gravedad de la figura.

Triángulos (III)

Bisectrices e Incentro

El incentro de un triángulo es el punto de corte de las tres bisectrices interiores de un triángulo. También es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Mediatrices y Circuncentro

El circuncentro de un triángulo es el punto de corte de las tres mediatrices de los lados del triángulo. También es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Triángulos (IV)

Triángulos Ortico, Complementario y Polar

El triángulo órtico de uno dado es aquel cuyos vértices son los pies de las alturas del triángulo.

El triángulo complementario de uno dado es aquel cuyos vértices son los puntos medios de los lados. Divide al triángulo original en otros cuatro semejantes (ver capítulo de Igualdad, Semejanza y Equivalencia).

El triángulo polar de otro respecto de un punto interior al triángulo es aquel cuyos vértices son los pies de las perpendiculares trazadas a los lados desde ese punto.

Triángulos (V)

Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos (a y b, lados perpendiculares) es igual al cuadrado de la hipotenusa (c).

Pitágoras

Triángulos (VI)

Teoremas de la Altura y del Cateto

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El Teorema de Tales de proporcionalidad de segmentos también se cumple en los triángulos rectángulos.

Los Teoremas de la Altura y del Cateto derivan del Teorema de Pitágoras y del Teorema de Tales y pueden demostrarse a través suyo.

El Teorema de la Altura establece que la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

El Teorema del Cateto dice que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado del cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de ese cateto sobre la hipotenusa.

Triángulos (VII)


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