Afinidad

Afinidad

La Afinidad es una transformación geométrica plana, en la cual los puntos relacionados o transformados se denominan afines, y cumplen las siguientes condiciones:

Afinidad (I)

La recta que une dos puntos afines siempre es paralela a una dirección dada, la dirección de la afinidad.

Dos rectas afines se cortan siempre en un punto de una recta fija llamada eje de la afinidad.

Se define la razón de la afinidad k como la constante que relaciona las longitudes de segmentos afines, y también es la relación entre los segmentos que unen puntos afines con el eje (siguiendo la dirección de la afinidad).

Si k = -1 y la dirección de afinidad es perpendicular al eje, la afinidad es una simetría axial.

Propiedades

Los puntos del eje de afinidad son invariantes o puntos dobles de la afinidad.

Si M es punto medio de un segmento AB, su afín M’ será punto medio del segmento afín A’B’ (ver figura).

Si dos rectas son paralelas, sus afines son paralelas. La afinidad siempre transforma un paralelogramo en otro, gracias a esta propiedad.

En una afinidad se conservan los puntos de tangencia. Esto es, sin dos figuras son tangentes, sus afines también lo son, y los puntos de tangencia respectivos también son afines entre sí.

La afín de una circunferencia siempre es una elipse. En general, la afín de una cónica siempre es otra cónica. Los centros de curvas cónicas afines también son afines entre sí. Como se verá en el Libro 3, el trazado de las elipses puede realizarse basándose en la afinidad existente una circunferencia y una elipse.

La afinidad puede venir definida por:

El eje y un dos pares de puntos afines.

Tres pares de puntos afines.

Dos pares de rectas afines.

Si la dirección de afinidad es perpendicular al eje, la afinidad se denomina ortogonal. En cualquier otro caso, se denomina oblicua.

Como veremos en el Libro dedicado al Sistema Diédrico, las dos proyecciones ortogonales (planta y alzado) de una figura plana en el espacio guardan relación de afinidad, y también lo hace una de las proyecciones y la representación plana abatida de la figura, por eso es muy importante conocer perfectamente la mecánica y las propiedades de esta transformación.

Afinidad de un polígono

Para hallar el afín de un polígono, no hay más que aplicar el concepto de afinidad a sus vértices y aristas.

Afinidad (II)

Normalmente, como datos de la afinidad se nos proporcionará el eje, la dirección y una pareja de puntos afines, aunque también cabe la posibilidad de que nos den características de forma o posición de las figuras inicial y/o final, y que a partir de ellas debamos encontrar los elementos de la afinidad. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1.– Dados la dirección (r) y el eje (e) de la afinidad y la condición de que la figura final sea un triángulo rectángulo, encontrar el afín del triángulo ABC.

Para conseguirlo, forzamos al ángulo en A’ (afín de A) a ser recto, encontrándolo como la intersección de un arco capaz de 90º con la dirección de la afinidad.

Afinidad (III)

Ejemplo 2.- Dados la dirección (r) y el eje (e) de la afinidad, encontrar la relación afín que transforma el triángulo ABC en equilátero.

Afinidad (IV)

Primero forzamos al ángulo α (en A) a convertirse en ángulo de 60º mediante un arco capaz de 60º (del segmento 1-2). Luego, como la afinidad conserva los puntos medios, tomamos M como punto medio de BC y convertimos el ángulo β en ángulo de 30º mediante otro arco capaz (del segmento 1-3). A’ estará en la intersección de ambos arcos.

Ejemplo 3.- Dada la dirección y el eje, encontrar la afinidad que convierte el paralelogramo ABCD en un rectángulo.

Para forzar que el ángulo afín al α sea recto, encontramos A’ en un arco capaz de 90º.

Afinidad (V)

Ejemplo 4.- Dado el eje, encontrar la afinidad que convierte el mismo paralelogramo en un cuadrado.

Aquí necesitamos que la dirección de la afinidad sea un grado de libertad. Primero forzamos que el afín de α tenga 90 (con el arco capaz de 90º de 1-2) y luego forzamos que el afín de β sea 45º (arco capaz de 45º de 1-3). El corte de ambos arcos proporciona A’, que nos define la dirección de la afinidad.

Afinidad (VI)

Afinidad (VII)

Afinidad de curvas cónicas

Como se ha indicado antes, la afín de una circunferencia siempre es una elipse. Para encontrarla, basta con hallar los afines de dos diámetros perpendiculares, que serán dos diámetros conjugados de la elipse.

Afinidad (VIII)

Si además pretendemos conseguir que los diámetros conjugados de la elipse sean los ejes (diámetros conjugados perpendiculares) deberemos elegir los diámetros de la circunferencia de forma que ambos pares de rectas vean el mismo ángulo de 90º. Para ello, trazamos una circunferencia tal que su centro esté en el eje de afinidad y el segmento C-C’ sea su cuerda. El centro de dicha circunferencia será el punto de corte del eje y la mediatriz de C-C’.

Si la afinidad es ortogonal, siempre podemos conseguir los ejes de la elipse tomando en la circunferencia un diámetro en la dirección de la afinidad y el otro en la dirección del eje.

Afinidad (IX)

La afín de una elipse siempre es otra elipse. Para encontrarla basta con aplicar la afinidad a un par de diámetros conjugados, que serán también diámetros conjugados en la elipse afín. En general, la afín de una curva cónica siempre es otra curva cónica del mismo tipo (elipse, parábola, hipérbola).


Enlaces de Interés: