Homotecia

Homotecia

La Homotecia es una transformación geométrica plana, en la cual los puntos relacionados o transformados se denominan homotéticos, y cumplen las siguientes condiciones:

Los puntos homotéticos están alineados con un tercero fijo llamado centro de la Homotecia (O).

La relación entre los segmentos definidos por este centro y los puntos transformado y original es una constante denominada razón de la homotecia (k).

Homotecia (I)

Propiedades

Dos figuras homotéticas guardan relación de semejanza.

El centro de la Homotecia es invariante, y las rectas que pasan por el centro de la Homotecia también lo son, aunque no lo son por puntos (los puntos no son dobles).

En una Homotecia pueden darse los siguientes casos:

Si la constante k es mayor que 0, la Homotecia se denomina directa, y en ella los puntos homotéticos es-tán ambos al mismo lado del centro de la Homotecia.

Si la constante k es menor que 0, la Homotecia se denomina inversa, y en ella los puntos homotéticos están en lados diferentes con respecto al centro de la Homotecia.

Si la constante k es 1, la figura homotética coincide con la original, y la transformación se denomina Función Identidad.

Si la constante k es -1, la Homotecia se convierte en una Simetría Central (ver capítulo 2.4 de este libro).

Si el valor absoluto de la constante k es mayor que 1, la Homotecia produce un aumento de tamaño (la figura final es mayor que la original).

Si el valor absoluto de la constante k es menor que 1, la Homotecia produce una disminución de tamaño (la figura final es menor que la original).

Dos rectas homotéticas siempre son paralelas, y la razón de longitud de dos segmentos homotéticos es igual a la razón de la homotecia (k).

La Homotecia es una transformación plana reversible, esto es, si aplicamos una homotecia a una figura y después aplicamos una segunda homotecia de igual centro y con igual razón pero de diferente signo, obtenemos la figura original.

Una Homotecia de centro impropio (en el infinito) es una Traslación (ver el capítulo 2.2 de este libro).

Homotecia (II)

Homotecia de circunferencias

La homotética de una circunferencia es otra circunferencia cuyo centro es el homotético del centro de la primera, y cuyos puntos son homotéticos uno a uno.

Homotecia (III)

Dadas dos circunferencias cualesquiera, siempre existen dos Homotecias que las relacionan, una de ellas directa y otra inversa. En cualquiera de los dos casos, el centro de la Homotecia está alineado con los dos centros de las circunferencias (en las figuras se muestran las homotecias directa e inversa que relacionan dos circunferencias).

Homotecia (IV)

Producto de dos Homotecias

El producto de dos homotecias es otra homotecia, cuyo centro está alineado con los centros de las dos transformaciones originales (aunque esta homotecia final puede resultar de centro impropio, convirtiéndose en una traslación) y cuya razón es el producto de las dos razones.

Homotecia (V)


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