Simetría

Simetría

Dos figuras pueden ser simétricas con respecto a un punto (simetría central) o con respecto a una recta (simetría axial). En una simetría central, se cumple que la distancia de los puntos simétricos al centro de la simetría es la misma, y ambos están alineados con este centro. En la simetría axial, las distancias de los puntos simétricos al eje de simetría es la misma, y ambas se encuentran en una misma perpendicular a dicho eje.

Simetría (I)

A partir de ahora nos centraremos en el estudio de la simetría axial, ya que la simetría central puede considerarse como un caso particular de giro, en el cual el ángulo es 180º.

En una simetría axial, son invariantes los puntos del eje.

El producto de dos simetrías axiales es un giro cuyo centro es el punto de corte de los dos ejes de las simetrías (figura de la derecha).

Simetría (II)

El concepto de simetría es especialmente aplicable en los problemas en los que existe un rebote o un reflejo (tanto en construcciones planas como espaciales), toda vez que un rayo y su reflejado (o una trayectoria y su rebote) son simétricos con respecto a una línea (en el plano) o con respecto a un plano (en el espacio).

A continuación se exponen algunos ejemplos del uso de la simetría en la resolución de problemas de geometría básica.

Ejemplo 1.- Dada una recta r y dos puntos A y B exteriores a ella, encontrar un punto P tal que AP y PB formen ángulos idénticos con r (o, lo que es lo mismo, hallar el punto de r en el cual debería rebotar un rayo que proceda de A para llegar a B, considerando r como especular).

Simetría (III)

Ejemplo 2.- Dada una recta r y 2 puntos A y B, hallar un punto P de r tal que el ángulo de AP con r sea la mitad que el de PB con r.

Encontramos A’, el simétrico de A respecto de r. Con A’ como centro trazamos una circunferencia tangente a r, y dibujamos la tangente a ella desde B, dando T. Esa tangente corta a la recta en el punto buscado P.

Simetría (IV)

Ejemplo 3.- En una mesa de billar, determinar una carambola desde A hasta B a 2 bandas (figura de la izquierda, se muestran únicamente dos de las posibles soluciones).

Ejemplo 4.- Igual que el anterior, pero a 3 bandas (se muestra una sola solución de todas las posibles). En esta construcción se ha prolongado un lado de la mesa, que actúa como eje de simetría auxiliar (figura de la derecha).
Simetría (V)


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